Nombre de chiffres d'un nombre

Cette activité a pour objectif de déterminer une formule générale permettant de déterminer le nombre de chiffres qui composent un nombre entier.

Partie A : échauffement et conjecture

1. Donner le nombre de chiffres des nombres suivants : \(345\) ; \(666\) ; \(2~980\) ; \(10~000\).
2. Calculer le logarithme décimal de chacun des nombres de la question 1. Arrondir au centième près.
3. Quel lien peut-on faire entre les réponses des questions 1. et 2. ?

Dans la suite, on définit la partie entière d'un nombre, représentée par le symbole `\lfloor \ . \rfloor`. Soit `x` un nombre réel positif, `\lfloor x \rfloor` est le plus grand nombre entier inférieur ou égal à `x`. 
4. Donner les parties entières suivantes : \(\lfloor 3{,}14 \rfloor\), \(\lfloor 10{,}824 \rfloor\), `\lfloor \pi \rfloor`, `\lfloor 100 \rfloor`, `\lfloor log(2) \rfloor`.    
5. Reformuler la réponse à la question 3. en utilisant la notion de partie entière.

Partie B : démonstration

Dans cette partie, nous allons démontrer le résultat conjecturé dans la partie A.

Théorème
Soit `n` un nombre naturel non nul : le nombre de chiffres de `n` est `\floorlog(n)+1`.

Remettre dans l'ordre les lignes suivantes afin de construire une démonstration du théorème énoncé.

Ligne A : La fonction logarithme étant strictement croissante, on a : \(\text{log}(10^m)\leqslant \text{log}(n)<\text{log}(10^{m+1})\).

Ligne B : On en déduit que le nombre de chiffre de \(n\) est égal à `m +1=\floor log(n)+1`.

Ligne C : Cela équivaut à \(m\leqslant \text{log}(n) < m+1\) soit `m=\floor log(n)`.

Ligne D : Il existe `m` entier naturel tel que \(10^m\leqslant n <10^{m+1}\)

Ligne E : \(n\) a le même nombre de chiffres que `10^m` (`m` chiffres `0` et un chiffre `1`), soit `m+1` chiffres.

Partie C : les limites d'une calculatrice !

1. Téo a essayé de calculer \(7^{49}\) avec sa calculatrice. Celle-ci affiche \(2,569235775e41=2,569235775\times 10^{41}\). Préciser le nombre de chiffres du nombre \(7^{49}\). 
2. À l'aide du logarithme décimal, retrouver le nombre de chiffres de \(7^{49}\).
3. Les calculatrices sont des objets très utiles, mais elles ont aussi des limites. Téo a essayé de calculer \(7^{1~149}\) avec sa calculatrice. Celle-ci affiche « overflow ». À l'aide du logarithme décimal, retrouver le nombre de chiffres de \(7^{1~149}\).
4. Déterminer le nombre de chiffres des nombres suivants : \(2^{2~025}\), \(3^{1~230}\), \(2~025^{2~025}\).